Rumus suku ke-n
pada penjabaran
[tex]\sf(a+b)^d[/tex]
adalah:
[tex]\displaystyle\rm(A.)~~^dC_{(n+1)}.a^{d-n+1}. b^{n-1}\\\\(B.)~~^{(n-1)}C_{d}\cdot a^{d-n+1}\cdot b^{n-1}\\\\(C.)~~^dC_{(n+1)}\cdot a^{d-n-1}\cdot b^{n+1}\\\\(D.)~~^{(n+1)}C_{d}\cdot a^{d-n-1}\cdot b^{n+1}\\\\(E.)~~^dC_{(n-1)}\cdot a^{d-n+1}\cdot b^{n-1}[/tex]
[tex]\large\text{$\begin{aligned}U_n=\boxed{\ {{}^{d}}C_{(n-1)}\cdot a^{d-n+1}\cdot b^{n-1}\ }\end{aligned}$}[/tex]
(opsi E)
Pembahasan
Binomial
Dalam bentuk [tex](a+b)^d[/tex], terdapat 2 suku (binomial), yaitu [tex]a[/tex] dan [tex]b[/tex], dan derajat ekspansinya adalah [tex]d[/tex]. Ekspansi/penjabaran [tex](a+b)^d[/tex] dapat dilakukan berdasarkan teorema binomial Newton, yang dinyatakan oleh rumus:
[tex]\begin{aligned}(a+b)^d&=\sum_{n=0}^{d}\overbrace{\binom{d}{n}\cdot a^{d-n}\cdot b^{n}}^{\begin{array}{c}\sf suku\end{array}}\\&=\sum_{n=0}^{d}\:C^{d}_{n}\cdot a^{d-n}\cdot b^{n}\\&=\sum_{n=0}^{d}\:\underbrace{{^{d}}C_{n}\cdot a^{d-n}\cdot b^{n}}_{\begin{array}{c}\sf suku\end{array}}\\\end{aligned}[/tex]
Dapat kita perhatikan bahwa indeks notasi sigma dimulai dari 0, bukan 1. Pangkat tertinggi suku variabel tunggal pada ekspansi, yaitu [tex]a^d[/tex] dan [tex]b^d[/tex], secara berturut-turut merupakan suku pertama (indeks=0) dan suku terakhir (indeks=n).
Oleh karena itu, suku ke-n pada ekspansi [tex](a+b)^d[/tex] adalah:
[tex]\begin{aligned}U_n&=\binom{d}{n-1}\cdot a^{d-(n-1)}\cdot b^{n-1}\\&=C^{d}_{(n-1)}\cdot a^{d-(n-1)}\cdot b^{n-1}\\&={{}^{d}}C_{(n-1)}\cdot a^{d-(n-1)}\cdot b^{n-1}\\\end{aligned}[/tex]
atau ekuivalen dengan
[tex]\begin{aligned}U_n&=\binom{d}{n-1}\cdot a^{d-n+1}\cdot b^{n-1}\\&=C^{d}_{(n-1)}\cdot a^{d-n+1}\cdot b^{n-1}\\&={{}^{d}}C_{(n-1)}\cdot a^{d-n+1}\cdot b^{n-1}\\\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]
KESIMPULAN
∴ Suku ke-n pada penjabaran/ekspansi [tex](a+b)^d[/tex] disesuaikan dengan opsi jawaban yang tersedia, adalah:
[tex]\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\ {{}^{d}}C_{(n-1)}\cdot a^{d-n+1}\cdot b^{n-1}\ }\end{aligned}$}[/tex]
[answer.2.content]
